开篇首语：电荷公式I×T=Q=C×U真是太酷了，我忍不住为其单独列传…

01/ 背景简述 /

——以上公式来源于TPS54561DPRT规格书公式42用于BUCK电路

输入电容

选型时计算所需的最小电容量（需要变形，解出CIN的表达式）。公式37用于BUCK电路

输出电容

选型时计算所需的最小电容量，这里所需的最小电容量是由输出电容COUT充放电导致的。公式35用于BUCK电路

输出电容

选型时计算所需的最小电容量，这里所需的最小电容量是为了满足负载动态特性的要求。因为计划明年(2024)出版的《开关电源宝典 降压电路(BUCK)的原理与应用》，想在做到“知其然”的同时尽量做到“知其所以然”。所以，以上42/37/35三个公式是如何推导而来的呢？我为何觉得“电荷公式I×T=Q=C×U”很酷，忍不住为其单独列传呢？本文将解释或者解决这两个问题。

说明：①为了与电压或电势的单位符号“伏特V”区别，本文的电压和电势都使用U表示。②本文我们将I×T=Q=C×U称为“电荷公式”。③因为会在其他文章中详细推导，本文会将推导过程简化，重点在于体现“电荷公式”的作用或妙用。

02/ 谈谈对Q=C×U的看法 /

从程守洙、江之永主编的《普通物理学(第六版)上册》中查阅到：导体静电平衡的特性之一是，导体面上有确定的电荷分布，并具有一定的电势值。从理论及实验可知，一个孤立导体的电势U，与它所带的电荷量Q呈线性关系。因此，导体的电势U与它所带电荷量Q之间的关系，可以写成Q/U=C ，该式中的比例常数C称为孤立导体的电容量(Capacitance)，它只与导体的大小、形状和周围介质有关。电容量C，是表征导体储电能力的物理量，其物理意义是：使导体升高单位电势所需要的电荷量。

在“百科”中查阅到：一个电容器，如果带1库的电量时两级间的电势差是1伏，这个电容器的电容就是1法拉，即：C=Q/U 。我的看法是：注意这里有“如果”，“如果”“带1库电荷量”且“电势差是1伏”，对应的电容量是1法拉。“如果”可以等于“假设”，可以认为公式C=Q/U是“人为定义”的。但是，我们在使用时，都将这个“如果”当成了“必然”，将公式C=Q/U或C=Q/U当成了永远成立的“定律”，这有问题吗？这个“人为定义”的公式C=Q/U或C=Q/U会不会在物理学或电子学的大厦里埋下了一个bug呢？其实不会。《普通物理学(第六版)上册》中所谓的“从理论及实验可知，一个孤立导体的电势U，与它所带的电荷量Q呈线性关系”， 应该就是物理学大师们通过实际的实验，发现了导体的电势U与电荷量Q呈线性关系，为了描述这两个物理量的线性关系，将比值Q/U或者Q/U“人为定义”为电容量C，结果就是公式 C=Q/U 或 C=Q/U 。这里需要知道的是，虽然某电容器的电容量C的大小可以通过使用两端电荷量Q和电势差U的线性关系Q/U表示，但这并不意味着电容量C由 Q/U 决定，Q/U 仅是电容量的“定义式”。以平行板电容器为例，C = εS/(4πkd) 才是该类电容器的电容量的“决定式”。这里有人问，为何是定义为 Q/U 或 Q/U ，而不是反过来的 U/Q 或 U/Q ？理论上定义为 U/Q 或 U/Q 也是可以的，这时物理量1/C表征的就是，导体增加单位电荷量所增加的电势，那么所有关于电容量C的公式中的C都要变为其倒数1/C了。只是重复定义一个物理量为U/Q或U/Q，可能没啥意义，因为现在的科学界、物理学界或者教育学上，大家已经在很多公式或表述中默认或约定俗成地使用了“电容量C”这个物理量了。

例如电阻的定义：人们发现导体两端的电压U与电流I呈线性关系，于是将U/I人为定义为“电阻（量）R”，也就是欧姆定律。欧姆定律(Ohm's law)是指在同一电路中，通过某段导体的电流跟这段导体两端的电压成正比，跟这段导体的电阻成反比，标准式是I=U/R，变形式有U=IR和R=U/I两个。同理，虽然U/I可以表征导体的电阻量大小，但是导体的电阻量并不由U/I决定，U/I 仅是电阻量的“定义式”。导体的电阻量，简单来说，由材料（电阻率）、长度、横截面积决定，即R=ρL/S，这才是电阻量的“决定式”。这里又有人问，为啥是线性关系U/I来表征电阻量大小，而不是I/U呢？这次物理学大师们已经帮我们实现了这个愿望，既然已经定义了U/I表征电阻量大小，那么就将I/U定义为电导量吧，也就是电阻量R的倒数称为电导量，即G=I/U=1/R。电阻量表征的是导体对电流的阻碍程度有多大，那么电导量表征的就是导体对电流通过的容易程度。

再例如密度的定义：人们发现很多物质的质量m与体积v呈线性关系，为了描述这种线性关系，定义了“密度”这个物理量，即ρ=m/v，表征单位体积上的质量大小。密度越大，表明单位体积其质量也越大。比如水的密度大概是1*10^(3)kg/m³，钢铁的密度大概是7.9×10³ kg/m³，显然在相同的体积下，钢铁的质量更大，这就是物理量“密度”意义。综上，“电容量”、“电阻量”和“密度”这几个物理量的定义，我们可以发现，其实物理学中的很多物理量或公式都是物理学大师们在“发现规律”的基础上进行“人为定义”的，而不是“人为发明”某个定律或公式。这个世界的“客观规律”是没办法“人为发明”的，人们只能“发现”规律，然后（使用数学）来“描述”规律。比如是牛顿“发现”了万有引力定律，然后使用数学方法去“描述”它，而不是“发明”了万有引力。进而，人们利用“发现”的规律进行各种“发明”服务于人类自身。比如人们“发现”了能量交换，内能可以转换为动能，发明了内燃机，进而将内能转换为动能，进而发明了汽车。比如现在的电动汽车，电池的化学能转换为电能，电能再通过电动机转换为动能，从而使得汽车行驶在路上。

03/ 关于上述“重复定义物理量”的题外话 /

前面说了“电阻量”及“电导量”的定义，物理学前辈已经帮我们“重复定义”了“电导量是电阻量的倒数”。如果有人想标新立异，将所有涉及电阻量R的公式，都将电阻量R使用电导量G=1/R代替，将公式重新表述一遍，也不是不可以，同理也是没啥意义，因为现在的科学界、物理学界或者教育学上，大家已经在很多公式或表述中默认或约定俗成地使用了“电阻量R”这个物理量了。但是，也有例外的情况，就是可以同时使用两个物理量来表述。例如，开关电源中经常使用“开关周期”和“开关频率”这两个参数来表述各种公式，BUCK电路中功率电感上的纹波电流实际值可以使用开关周期Tsw表示为IL = (Vout/Vin) * (Vin-Vout) * Tsw / L，但通常更多地使用开关频率Fsw表示为IL = (Vout/Vin) * (Vin-Vout) / (L*Fsw) 。

我们在开关电源中偏爱“开关频率”而不是“开关周期”，“开关频率”才是开关电源的重要参数之一，而不是“开关周期”。为什么我们更偏爱“（开关）频率”呢？我想，可能是因为“周期”这个物理量本身描述的是“重复一件事情所需要的时间”，但是人们更想知道“重复一件事情有多快”，这个事情刚好可以使用“频率”这个参数来描述（对应到经济学中可能叫做“效率”，生产一件商品的单位用时越短，效率越高）。人们可能都知道复利公式，但想要利用复利公式实现财务自由，其中有个很重要的变量之一就是“时间”（另一个重要变量是持续的正收益）。如果有持续的正收益和持续的时间，每个人都能像沃伦·巴菲特那样富有。所以，在投资上有句话是这么说的，“耐心是投资者最好的美德”。遗憾的是，如巴菲特所说“没有人愿意慢慢地变富”。人们都想在短期内实现目标或梦想，于是乎，各种“xxx速成班”“一文搞懂xxx”“一夜富”“一夜情”“炒股”“炒基”等等，如雨后春笋，层出不穷，大概就是利用人性的弱点，给人下套，懂的人利用这些认知赚取不懂的人的钱。大道至简，知易行难。“听过很多道理，依然过不好这一生”。好，收，我们就不展开了。下面，言归正传。

04/ 基于“电荷公式”推导CIN纹波电压 /

基于“电荷公式”推导BUCK电路输入电容CIN纹波电压分量表达式以电容器上的电荷变化量为桥梁，因为“电荷公式I×T=Q=C×U”，所以得到：U=Q /C=I×T/C，基于这个公式，我们来推导输入电容CIN纹波电压分量表达式。

1 基于TON导通阶段推导出输入电容CIN纹波电压的表达式

上图所示，因为TON时间内，输入电容CIN的平均电流为(1-D)*Iout，时间为Ton=D*Tsw，所以输入电容CIN释放的电荷量或“安秒积”为((1-D)*Iout)*(D*Tsw)将这个电荷量除以输入电容量Cin，同时将开关周期Tsw使用开关频率的倒数1/Fsw代替，即可得到输入电容CIN上的电压变化量（纹波电压），即Ucin,pp = ((1-D)*Iout)*(D*Tsw) / Cin = D*(1-D)*Iout / (Cin*Fsw)

2 基于TOFF关断阶段推导出输入电容CIN纹波电压的表达式

上图所示，同理，因为TOFF时间内，输入电容CIN的平均电流为D*Iout，时间为Toff=(1-D)*Tsw，所以输入电容CIN吸收的电荷量或“安秒积”为(D*Iout)*((1-D)*Tsw)将该电荷量除以输入电容量Cin，同时将开关周期Tsw使用开关频率的倒数1/Fsw代替，即可得到输入电容CIN上的电压变化量（纹波电压），即 Ucin,pp = (D*Iout)*((1-D)*Tsw) / Cin = D*(1-D)*Iout / (Cin*Fsw)可见，基于TON和TOFF两个阶段得到的输入电容CIN纹波电压的表达式是相同的，这就是如下“TPS54561DPRT规格书”“slyt670 How to select input capacitors for a buck converter.pdf”“AVNET Input Capacitor Considerations .pdf”等资料中计算输入端纹波电压分量或计算输入电容CIN取值最小值的来源。

说明：这里先挖个坑，以后填坑（是为“坑1”）。就是将我们这里推导出的 Uin,pp =  D*(1-D)*Iout / (Cin*Fsw) 与 TPS54561DPRT规格书中的公式(42) Vin = (0.25*Iout) / (Cin*Fsw) 对比可以发现，D*(1-D) = 0.25 。为什么D*(1-D) 要等于 0.25 呢？感兴趣的小伙伴可以先研究下，我将在后续文章中解释这点。

05/ 基于“电荷公式”推导COUT纹波电压 /

基于“电荷公式”推导BUCK电路输出电容COUT纹波电压分量表达式因为我们已经在之前的文章 [“3.2.4.4 输出电容COUT纹波电压表达式如何推导？——也谈数学之美”] 中，分别基于微积分和几何方法详细解析了BUCK电路输出电容COUT纹波电压分量表达式，由于积分微积分的方法较为复杂，就不重复了。这里为了体现“电荷公式I×T=Q=C×U”的妙用，仅给出几何方法。

上图所示，阴影面积正是这段时间内电容上积累的电荷量，且容易得知该阴影三角形的底为b = (1/2)*Tsw = 1/(2*Fsw) ，高为h =IL/2，那么阴影面积或电荷量或“安秒积”为

(1/2)*b*h = (1/2) * (1/(2*Fsw)) * (IL/2) = IL / (8*Fsw)

将该电荷量除以输出电容量Cout，即可得到输出电容COUT上的电压变化量（纹波电压），即 

Ucout,pp = IL / (8*Cout*Fsw)

这就是如下“AN112 Step-Down DCDC Converter Input Ripple and Noise”“AN041_EN Basic Calculation of a Buck Converter’s Power Stage”等资料中计算输入端纹波电压分量或输出电容COUT取值最小值的来源。

06/ 基于“电荷公式”推导输出电容量大小 /

基于“电荷公式”推导BUCK电路输出端满足负载特性所需的电容量大小的表达式

上图所示，是我们通常进行负载动态响应(Load Transient)测试的示意图。假如电路的负载电流为Iout，抽载的高电流值是I2=Iout（满载），对应时间是T2=0.5ms，抽载的低电流值是I1=0.2*Iout，对应时间是T=0.5ms；抽载测试通常都设置T1=T2=(1/2)*Ts，不同的测试中，Ts大小设置也可能不同。

那么，此时对于负载端或输出端来说，其电流变化量就是I=I2-I1，图中阴影面积或电荷量或“安秒积”就是I*T2 = I*(1/2)*Ts 。又因为有“电荷公式I×T=Q=C×U”，就是说电容上的电荷量变化或“安秒积”必然对应着C×U，我们将输出电容使用Cout表示，输出电容上的电压变化量（纹波电压）使用Ucout,pp,t表示，那么同时将周期Ts使用频率1/Fs代替，有

I*(1/2)*Ts = I(2*Fs) = Cout * Ucout,pp,t

从而解得Cout的表达式为

Cout = I / (2*Fs*Ucout,pp,t)

注意：①这里Fs是指负载动态响应测试时的负载切换频率，而不是电路工作时的开关频率Fsw。②我们这里的 Cout = I / (2*Fs*Ucout,pp,t) 是从宏观角度推导得出的结论，而没有考虑负载电流从Iout切换到0.2*Iout或者从0.2*Iout切换到Iout这两个切换过程。

可见 Cout = I / (2*Fs*Ucout,pp,t) 与如下“ADP3026规格书，公式(8)”结果是相同的。

注意，这里开始转折了…

但是，其一，ADP3026规格书并没有解释清楚公式(8)中的f是什么参数，其中的Iripple = 0.3*Iout是我们通常认为的纹波电流理论值，而不是负载动态响应测试中的电流变化量I=I2-I1。所以，ADP3026规格书公式(8)也是后续需要搞清楚的（“坑2”）…

但是，其二，我们这里推导得到的结果 Cout = I / (2*Fs*Ucout,pp,t) 与如下“TPS54561DPRT规格书 公式(35)”是不同的。

我们的公式中“2”是在分母中的，频率是负载切换的频率Fs，而公式(35)中的“2”在分子上，频率是开关频率Fsw。那么，哪个是对的？或者两个都是对的，只是看待问题的角度或者出发点不同导致的（就像我们之前的文章 [“BUCK电路输入电容上的纹波电压表达式们的区别，它来了...”] 中那样，使用的电流参数不同，得到的结果也不同）（“坑3”）？

说明：咱们这里再挖两个坑，以后填坑（是为“坑2”和“坑3”）。话说，好的老师会在课堂上进行启发式教学，咱们也来效仿下。哈，我知道你可能会想到下面这个表情…

07/ 如何配置软启动时间的大小？ /

基于“电荷公式”推导出软启动电容的电容量大小配置公式（如何配置软启动时间的大小？）

上图所示，SS/TR是TPS54561DPRT芯片的软启动配置引脚。通常开关电源器件实现可配置软启动时间的方法是，在软启动引脚上外挂电容Css，芯片内部有上拉电流源Iss（提供软启动充电电流，为外挂电容Css充电）和基准电压Vref。例如TPS54561DPRT芯片内部Iss=1.7uA，Vref=0.8V。

根据“电荷公式I×T=Q=C×U”，BUCK电路在启动时，将软启动电容上的电压从0充电到Vref所需要的时间可以表示如下：

Tss,set = (Css*Vref)/Iss

这里，针对BUCK电路的软启动，很关键的“桥梁”是时间。也就是说，BUCK电路在启动过程中，将软启动电容上的电压从0充电到Vref所需Tss,set这段时间内，同时输出电压需要将输出电容Cout上的电压从0充电到目标电压Vout。如果我们将输出端所需的时间使用Tss,out表示的话，那么有

Tss,set = Tss,out

那么，Tss,out是多少呢？这里，我们依然使用“电荷公式I×T=Q=C×U”，容易得到：

Tss,out = (Cout*Vout) / Iinrush

这里的Iinrush表示BUCK电路启动时的浪涌电流，通常可以定义为最大负载电流Iout,max的5%至10%，本文我们将其定义为Iinrush = 5%*Iout,max 。

基于Tss,set = Tss,out，综合这几个公式我们可以得到：

(Css * Vref) / Iss = (Cout * Vout) / (5% * Iout,max)

从而解得BUCK电路软启动引脚上所需的软启动电容量大小如下所示：

Css = (Cout * Vout * Iss) / (5% * Iout,max * Vref)

对于设计完成的BUCK电路，Cout、Vout、Iout,max这些参数是已知的，Iss和Vref也是芯片规格书给出的已知参数，所以就可以计算得到软启动电容量大小了。

说明：这里如果有不明白的，欢迎留言，我将在后续单独上新这部分内容；此处是为“坑4”。

08/ “一文四坑”的总结 /

所谓&lduo;一波三折”，比喻事情中的困难。我们这里也是“一文四坑”地总结了“电荷公式I×T=Q=C×U”的四种妙用。所谓“万变不离其宗”，通过“电荷公式”这个“宗”，能够更加深入理解各种电子学公式这些“万变”，所以觉得这个“电荷公式”很酷。

这个“电荷公式”肯定还有别的妙用，如果大家有兴趣或疑惑或妙用，可以整理出来与大家分享，共同进步。同时，也欢迎添加关注“电源先生”公号或如下其个人微信探讨（说明下“想与电源先生讨论问题”...）。

       原文标题 : 电荷公式列传